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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 tV`,ex  
Ez U-v"BB  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. p0lhxZx*  
B~(:K z  
　　1、三角函数本质： Fvg_  
g~H%&N%ezg  
　　三角函数的本质来源于定义 dPtC$|  
b>Au0rN?}  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 SuZ)(*b w  
< 2C~aG \  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 T/.S-y).  
z_Z =%cz  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： <3!H{I  
\{TD20(U  
　　推导： 0}7y`G0Pw  
cCJaw/  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Q)q }:L<m  
{_Tmy V Q  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) g'?? ^Ns  
8'S6.wcI  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) IAZDv@1]  
H5ZhgNgYXr  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 }#4Y'6=mh  
+]exc[(V7  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） }1Cxl.I  
DHRcB;Ju  
　　[1] rjuvw{ A  
V|0*,d  
　　两角和公式 /aH?8W>8Rb  
if 7={Z3E  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB )|Dr Qqk5  
-7} aq5/  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  I=Be//  
 Nf/CN0  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB c9haD@Wu  
Q8F ZCM#Kq  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB V6({9|kE  
k*f^8QA<  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) \J\KR6x  
!X55$t<7D'  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)  WVF V4  
Q S\xx>Hjr  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  2d/k 0  
&r^bx'8  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) { ^:k2  
~KuS8PvO  
倍角公式 8K rr u?f  
Q~HBXTavk  
　　Sin2A=2SinA•CosA ]G{oTf~c  
? &l`[T[>4  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 YMi^xSPU  
b3$5xC0{")  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） D e\?F0a  
q])u-(!Q  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） b;-H[s{  
fw%2Y |r:  
三倍角公式 3K7;l xC  
fSXX\dh.Vg  
　　 `i]wWHD*  
na`h5B~*e  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)  Ww?=Il  
i& %%^v9V  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \P/5*Ka  
82(g E  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) U,VQJ=#3`V  
JO .w7  
三倍角公式推导 % /mN  
nH1}Q<h8  
　　sin3a ,UWnrQSZ  
}J$fPWngM  
　　=sin(2a+a) LJ#fiS;  
)s _@3daa  
　　=sin2acosa+cos2asina P;Znrpw+  
ZC3r+Xwi  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina u_6Re!  
ZL  c  
　　=3sina-4sin³a A ()] -iD  
#2?8.  
　　cos3a Ve4)tn  
n>Uc4>B  
　　=cos(2a+a) ! >qS.X%A  
h1KE!  
　　=cos2acosa-sin2asina gI/b] |L  
.>fh  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa K~tm0*""  
|];l&j03QM  
　　=4cos³a-3cosa H \K(iW  
)$SL$*  
　　sin3a=3sina-4sin³a q_XWL-'Bw  
SV`@\2B  
　　=4sina(3/4-sin²a) bZ}&9n  
L|)9Z t  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] D[#z/KPK  
f52gF)H{Q  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) bc4t*k4`-  
1Jx!# S  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) o"G]![JU  
Xz3OJS`_  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 5mu=Q  
Nyw!yL  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) vB@q:#6_1^  
cO8C*I  
　　cos3a=4cos³a-3cosa vSW#"ehZq  
y$@ vP jr  
　　=4cosa(cos²a-3/4) IybcH9~-?  
U ^e* W\e  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] (L^Dc.IW  
)I.;b>[S  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) |/{J<,  
v\NW<+  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) (:9!&f^n  
h>7S:Ji  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} v_lJdN2mZ(  
=[ _\  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) qV#0,w woG  
0XiJt>XbS  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] `%`XW0  
_<GXh[m  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] JJ&@ 8/  
=$@w,1#  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 6 Gs D-=[  
DDW`v>xq  
　　上述两式相比可得 :%* fa*70!  
njb:Ndh 7  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) cab}M-F  
@v]K]  
半角公式 QmNXQ'3  
O <Z( ^-  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); JvKBFC  
coOdDF>  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 3C5srbH  
7 R,oD  
和差化积 ~c"UWd  
xNv k0}jj  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Z>{6@rqi(  
_L(z#k{\sO  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Ow E/;A}  
fJg^),$  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] .TkgYjQ,  
&?el}&vu  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] h^a    
]zZ;bx44T  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) PzQndd]  
kna{{]6oZ  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) a]xl mXX  
ZJR7V5m(l  
积化和差 :p;( Htw  
y&'T3xFK  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ,pw&v5N;`  
} Wr@p<+Km  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 3nrt*gJ  
&,HXs  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] k*oRP>!@  
7&=PId[  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] y:,vT*3e@  
xR p@@Wy  
诱导公式 e K\-^x|}P  
gL |V'mit  
　　sin(-α) = -sinα @<Yc.6H4  
~my&Qo5hM  
　　cos(-α) = cosα 'lWWS?{|  
.92fK.|c=  
　　sin(π/2-α) = cosα lX" @Xy}  
.+*HcSf(  
　　cos(π/2-α) = sinα J:tnY|V<5  
)M4 [f~  
　　sin(π/2+α) = cosα -mw!  
;6< '' Gz  
　　cos(π/2+α) = -sinα }f2U~b,Mh  
pcVpR8 ?  
　　sin(π-α) = sinα V}o[G" [^A  
:]2H$A  
　　cos(π-α) = -cosα z~"( :Oni/  
4.=9y"G`u  
　　sin(π+α) = -sinα Kx@oa9*q  
n|@omHt  
　　cos(π+α) = -cosα n i jT=  
:qFM3#ISC  
　　tanA= sinA/cosA Zyn R90o}  
'86I{Ux  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα oRTp q  
Ye 9=2b  
　　tan（π/2－α）＝cotα s`qY  
Munxc w4b4  
　　tan（π－α）＝－tanα is6X}_ )  
*3d5zHW  
　　tan（π＋α）＝tanα h T Yu3j  
a>LiV3|*  
万能公式 Nz3 qFO^  
6Q%w%%+i  
　　 p- c{cOT  
AI(: 0Vn  
其它公式 ]b)] ``r  
{Z]d-C2nE  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 0 p)d/Mp  
3r+t8W  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 +LjLm"X|  
}Wyjtp96  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 p^8qOi"fG  
fOw r7q $  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 YC&o@>]=  
E@}[u"5)  
　　对于任意非直角三角形,总有 x$:ZZt +L`  
XDu^gPq3]  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC oxZ0yau  
E!mv f6}  
　　证: -o:yQq?@3  
^?@^EtjN  
　　A+B=π-C }k1`vc  
xtVBzH  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ~jB B|5y  
`Q4  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) B/N_X A,  
tNhj!-EQN  
　　整理可得 b!rDb<  
8Fg$ !2F_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q\GlW^(]  
+ya7  
　　得证 U,:z8~IbC  
\$)]U>9W  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ;4 #ae+  
c(wC@Q`_q  
其他非重点三角函数 3+ {id:&N  
u&n5zbBSq  
　　csc(a) = 1/sin(a) "1{ d]yGZ>  
RFq59MF7  
　　sec(a) = 1/cos(a) p,]Z8'5~D  
o u4N\  
　　 .m.GtPj  
SJuDM  
双曲函数 k k'Ej1  
F!"`_U  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 5*{2Ssi  
Id\D A?TI  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 F9UXJq"I  
+TK2ZIL _  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) l Jq+il  
hk<o]6B  
　　公式一： SW2l@(JPY  
F3DQ<J&0  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： e<u]!B7wY2  
v rj)Bd8$C  
　　sin（2kπ＋α）= sinα x@$kmA$x  
AHJgQOPz  
　　cos（2kπ＋α）= cosα UU{~*mZ 8  
, Dr!i0sEk  
　　tan（kπ＋α）= tanα \p)$n#  
w`h3Gx  
　　cot（kπ＋α）= cotα !'&s8}C  
~SE-pcP  
　　公式二： f=Z~.;  
RP~wfRM A  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ) 'qy<6  
Vl5XYJ"f  
　　sin（π＋α）= -sinα |7P*R|f9  
|um)f_-a  
　　cos（π＋α）= -cosα :HFT>/  
g!LG]+P  
　　tan（π＋α）= tanα 40 C{W\  
(#J`4L j]  
　　cot（π＋α）= cotα X_V_ xJ  
A$,ECuL"  
　　公式三： fpXq r  
2PYmy3J  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ;s>+> >#,  
.>INB x  
　　sin（-α）= -sinα ;4#jj1n;  
g{gK 7w<  
　　cos（-α）= cosα A|2 E2u(&  
[??X#.d  
　　tan（-α）= -tanα q8xrE}x  
eUIj%B  
　　cot（-α）= -cotα `EIKD"bl  
=Phi{mYJb  
　　公式四： 0&p"A@YIuR  
H5Ra;%u  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 6 r*{u  
IJ_Q>sH  
　　sin（π-α）= sinα 5$z # 2  
o\yPB2Zc  
　　cos（π-α）= -cosα fd q r F  
tG~qF1@'  
　　tan（π-α）= -tanα HEI1jv <  
A3I:)keyQ[  
　　cot（π-α）= -cotα 8vSnby  
Dsa^J$Sb  
　　公式五： x>.cGz|J  
=fbyv8gnPH  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： rDI)s R  
8Tm87m=Z  
　　sin（2π-α）= -sinα yBE]=%aG  
[bm3s5  
　　cos（2π-α）= cosα [ N5 ?#b  
5%W_FS$  
　　tan（2π-α）= -tanα 5oFq12rx!  
$`?3i5@w7q  
　　cot（2π-α）= -cotα a%w'i=9H  
1%B!ceO ^@  
　　公式六： t[ 2  
r\? z?#t]  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： GfK_yxCoq  
Cc|B0i  
　　sin（π/2+α）= cosα FNyp}t1F  
&3 V6  
　　cos（π/2+α）= -sinα ,Z:r&DaxUX  
R=t A$?  
　　tan（π/2+α）= -cotα l v=PRPt'  
>iNJo  
　　cot（π/2+α）= -tanα u|H@T(WF  
9>ZVU8  
　　sin（π/2-α）= cosα x GHF'V  
JWXsF9ic=x  
　　cos（π/2-α）= sinα r GLu\jz  
BayF.Bxy1-  
　　tan（π/2-α）= cotα \} RULk?M  
&$g4XG4j  
　　cot（π/2-α）= tanα ,lm:M$8  
*9> +w[  
　　sin（3π/2+α）= -cosα `X e<FF  
co['T7A  
　　cos（3π/2+α）= sinα d 2H#jM  
HEBVOVrH  
　　tan（3π/2+α）= -cotα p&)ww61+  
B<r?2!G  
　　cot（3π/2+α）= -tanα wI\XK]Xt  
e)&)Icx  
　　sin（3π/2-α）= -cosα lU0qn V &  
"3a3tgt'O  
　　cos（3π/2-α）= -sinα FoqMsp  
JOAP56dp.  
　　tan（3π/2-α）= cotα rTh;4wDn)  
=u.+;P[Tp  
　　cot（3π/2-α）= tanα vgYKRA  
mr5 $NB  
　　(以上k∈Z) (h wJp(  
>tU!c <\  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 &Ty>{c5*u  
-XuND+G)Z:  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = #x1ln8PN  
q]s(R3]XD  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Z 1[-)u:oK  
c owL(g  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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