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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ?>n%' H  
06-VijC   
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. \"khj{E  
"ciEol)Tr  
　　1、三角函数本质： _tr9 C  
k@LqO|N  
　　三角函数的本质来源于定义 x!g}P#@  
Lg0g]Q3)+  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 gn&1{  
?2n"l7d 8  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ~D[[U",:R  
,I[ls7gy?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ` *m}7$  
(q[=him$  
　　推导： s$z<T(  
}\S]'  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 z!X^L [$  
Af)/4Y2  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) m#q5&?5  
!Dx^1GQtk  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) EMV3h_ :  
4p?wUP%{M  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Cc0zQ9T^y  
G_4gsv!s  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） i@< Z,IF  
=X<WZjHu  
　　[1] oi3u+pP  
`)|`lRg:BX  
　　两角和公式 Z=XI>  
!MW;1#1  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB JFMN^O2~i  
s\z@=  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  -z6 EO{  
.zzYJq-egq  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ]>"uB' dM2  
<MfD^{%  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB x"~m&?O*  
R@Rah  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ppdw2wQ  
FqFJ?=ACi  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 5;2e"h5(  
^F$)PF-IJ  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Q$ePbR1&jC  
evXv9  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) olprv0{gz  
M'!j9|+di  
倍角公式 ~CvdFn^t  
1-ZzE50[<j  
　　Sin2A=2SinA•CosA 2O oEvH  
{^P8axi  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 d/(4uT  
M:Vd bQo  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） <u5ti!;R  
|De yA*b  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） gQn)uCk  
z<S`_RC  
三倍角公式 ]*YS,_  
)qdLq.Y]@  
　　  rY5Co!  
<yT={- s  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) |&=)PubWz  
j3*nn4,  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) USBwgR1:  
XF#y5PzO  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) dwo}].~(  
Wc-MmZ%F  
三倍角公式推导 bT a~g3  
]aV9FgRh  
　　sin3a mW$st1VZm  
sT )wwG3  
　　=sin(2a+a) axG@:s`  
+T<VxCz  
　　=sin2acosa+cos2asina '3\y8jAP  
rSW%cT `#  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 4Os~NxN c  
X%D= q>6 z  
　　=3sina-4sin³a [g%(2zW}T  
W: dP{  
　　cos3a ]?VG,?vx4  
cgAab 0  
　　=cos(2a+a) ;U+j)|~  
-ti$lVW6  
　　=cos2acosa-sin2asina ,z&o |xe`  
ZG63YS  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa d*"W8NC  
LcZ]:|  
　　=4cos³a-3cosa hO`u )Q,  
6}^lZ cv  
　　sin3a=3sina-4sin³a wW~a=|vkA  
a{8 <wt?9  
　　=4sina(3/4-sin²a) =[/v'6  
a-;=B Nb  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] % |p.+  
-Bm;WXThK  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) h&U_j'  
yK+% y)J  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) fXLrc>* {c  
Des:.d>E  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 9,Tb`J^>l  
%] dqFeH>  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) s#N4V4cO5h  
yc\m-~  
　　cos3a=4cos³a-3cosa [*4Es"{  
6\(Y,.bN@\  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ]/"tNlC  
7/h#LAN  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] mY[}eLGdN  
_\I/!')GK  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) F=sX@6C_p  
}??<l[b9R  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) G,6vVD  
 1<9 ]`  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} <1},@4CKI1  
sF+wO,[s  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) noyQg"Ob  
WevX]*"  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ktWWr 9ZR  
0k{/:"T;JG  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] e#b"-\Qp?  
~ u L^xx[  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) w|igZ?R\  
#3Vq SwZh  
　　上述两式相比可得 Y%4=sX  
~>5lY(~  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) %=:RG|C}z  
;.UY eL  
半角公式 ?"%nN  
^A`\%lmuL|  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); i.n\p  
p IM H+D(:  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 4y^ry4bc  
 ,FQ {Yx  
和差化积 (# (oqoY  
W_yY 1  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] U"i [AQ  
KY ZQqe'  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 2 S4E.  
 'I,$+ <}  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &WX= "(  
VeUl7i?6  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] uv`@sM 5<  
&po=VLt  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) hrG9Ea~3  
m3]BHZ7  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ~R<Euo  
npicgv <  
积化和差 c..gc%4C  
4zT?x<K  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] `bY)D2]  
s/ 4(#5.{  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ,7m> nVu  
tWqml /b/  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] [cmxVv=D  
R8 IS@f8%  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] R4^3A(F  
e A~&v'  
诱导公式 )? .u CBf  
ZUMK#+7Y  
　　sin(-α) = -sinα *GE{-BSJ}^  
`d0LHavd~\  
　　cos(-α) = cosα ?Mi|;*BVC#  
6:q..XBN:  
　　sin(π/2-α) = cosα SDKkPw}OS  
7"\z+6  
　　cos(π/2-α) = sinα f^6gz`c8  
_>=b /]'  
　　sin(π/2+α) = cosα +G%/ DX$  
ug~X8jD  
　　cos(π/2+α) = -sinα .MfrH E  
SOBlG=~  
　　sin(π-α) = sinα fl=eocg  
yD6Eo^k  
　　cos(π-α) = -cosα SeWit`qqS  
lFT]zda  
　　sin(π+α) = -sinα fZW H*&H  
mH2n@WVRw  
　　cos(π+α) = -cosα Ik9i{4r  
DY)'S   
　　tanA= sinA/cosA BZ8>WBW[  
4TxqjlH8}  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ^2;/KG[  
y85 [+B  
　　tan（π/2－α）＝cotα Q_&Q0S;  
O^}SQW  
　　tan（π－α）＝－tanα iFor? z~[N  
K^4 0]b(  
　　tan（π＋α）＝tanα 7}Kn`$'  
o9hLs-D6  
万能公式 3|[ 9=tz  
qN+KT_-  
　　 @E}vZF*s  
5] D58{3l  
其它公式 1|O>K*|  
k>Vjb0F  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 499( 9U4I  
n_|N8, sx  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 :97nc5=-W  
uW9Z-t  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 |anw D  
RNTkx1;7  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ;-_`$*+ (  
>U^h  
　　对于任意非直角三角形,总有 l>_jywVe&  
"MH>fb MD  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC v6L~_P  
Z18IUP;  
　　证: :o^Cc1U  
cyEX+q0}7  
　　A+B=π-C nM}D+$]  
AH. M88j  
　　tan(A+B)=tan(π-C) hG@{|H  
#9cD|~Z  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) MB{WPk3  
MI7x   
　　整理可得 m$kWcr5U  
[32&cikw  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC P#M1w|O$  
V6\{/-Rz6  
　　得证 vN1i?~  
?I%.Go0i  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 B0e=sg<b  
e!2SIbK o  
其他非重点三角函数  }-Biw&<  
:<=&%7O  
　　csc(a) = 1/sin(a) LaX>:Jj*Q  
= N[:"  
　　sec(a) = 1/cos(a) Tv4K[ ]  
XN?S#92C-  
　　 EFzOYtM  
9. D QGv  
双曲函数 j,5f9NXZ  
/@) D?4p  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 m:@3s?A  
$Nk[3W   
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 4_T}^R}  
h"b!_;9  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ctS`i`Qy[  
&XtGWG  
　　公式一： u,{AB  
"% L `,0Y  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： QT;_,z8Q  
Er l@s  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 9NDDAjI[  
t#8j0sE  
　　cos（2kπ＋α）= cosα +z)d%  
~E-JVru  
　　tan（kπ＋α）= tanα d>A']. Ks  
Ay/Qoy  
　　cot（kπ＋α）= cotα MT[q`$;  
@ _P.{k)  
　　公式二： ,RBgGk-X!  
0 =lz  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： '_/$sdF1  
'c]r ~ '  
　　sin（π＋α）= -sinα l oWLMqa  
uQ[",?FF{)  
　　cos（π＋α）= -cosα 9<vNQD7/E  
e+S[ ]'L  
　　tan（π＋α）= tanα O8;QLKJtwx  
18|e;  
　　cot（π＋α）= cotα Rh 34{ K  
,+2=4_D  
　　公式三： >M>LU47jM  
Xow dg<  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： (7xf N[  
_Y9]vsMGl  
　　sin（-α）= -sinα _kbKObmI  
':R)gMp  
　　cos（-α）= cosα I[~A?848  
$n+&EW O  
　　tan（-α）= -tanα QY/JcG+<  
U6XVH7T  
　　cot（-α）= -cotα "CN#k0!  
<Z||E1|l  
　　公式四： <@!{1gl$!Z  
@7fn~?  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： .4hcW$  
! _/|w,M  
　　sin（π-α）= sinα F#K6  
9;O40F3T  
　　cos（π-α）= -cosα  +G fK  
P"wv~xJ]  
　　tan（π-α）= -tanα 1t1Y70,G  
i(W9M\  
　　cot（π-α）= -cotα /oK#:hp  
x5N\14sDH  
　　公式五： MTHsa:UL  
Gzv-[rVB"  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： * M] YgTs  
":AAD[j6  
　　sin（2π-α）= -sinα @ ]MGgSOi  
XB</VI  
　　cos（2π-α）= cosα l%fx"QZ  
<rUL}M#o}  
　　tan（2π-α）= -tanα QE|MO> n7  
>Y|j~/SH  
　　cot（2π-α）= -cotα cp WVp   
2~>fr=V{Z  
　　公式六： oNg+MS%a*  
C[f9@EiY =  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： %2QChjh  
 p`@,y  
　　sin（π/2+α）= cosα 2x8*-CxX  
I #iU&wn  
　　cos（π/2+α）= -sinα ?t6Ayn)|l  
+O*u07  
　　tan（π/2+α）= -cotα G3e]WB)w  
&A?)H7l2+  
　　cot（π/2+α）= -tanα %xcbX,jJ  
2[6~/~`Ql  
　　sin（π/2-α）= cosα ,;V`  
?C_j~E kt  
　　cos（π/2-α）= sinα N|N*1WuHA  
goaHJtRO  
　　tan（π/2-α）= cotα )Ls0C1q  
6(uOQ6#@  
　　cot（π/2-α）= tanα 2tsl~  
O8N Cu  
　　sin（3π/2+α）= -cosα h4 ~ ng  
YJ?ESEk  
　　cos（3π/2+α）= sinα w^m#/1>;  
uX vEtpcb  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 00nw% oJ  
Mdh)b-eAw  
　　cot（3π/2+α）= -tanα )q"ZN5  
Ol"KCaa9  
　　sin（3π/2-α）= -cosα v RG07-`  
P3.JNPu   
　　cos（3π/2-α）= -sinα s M-J+7\  
=eANDdq[H  
　　tan（3π/2-α）= cotα a eP'qey  
sV^T Z*R  
　　cot（3π/2-α）= tanα d7 o>w`B  
Fq}3?dUT=  
　　(以上k∈Z) {x5UD_2tD  
!(4]w>;  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 xf A,fKWD  
*>B  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = \9>Wz8ud  
*5 6J5qN  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 9S~Bmy@1aH  
Zhwfmn(F]  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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